最終的に（非可換な）単位的クオンテールの定義を明確にするために色々メモ

主にこの辺¹²³とかを参照しています．

半環（semiring）

半環は，以下の性質を満たす二つの二項演算（加法と乗法）を備えた集合$S$のことをいう．

• $(S, +, 0)$は$0$を単位元にもつ可換モノイド
  • $(a + b) + c = a + (b + c)$
  • $0 + a = a + 0 = a$
  • $a + b = b + a$
• $(S, \times, 1)$は$1$を単位元にもつモノイド
  • $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
  • $1 \times a = a \times 1 = a$
• 乗法$\times$は加法$+$に対して分配的
  • $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$
  • $(a + b) \times c = (a \times c) + (b \times c)$
• 零化
  • $0 \times a = a \times 0 = 0$

半環の2つの二項演算は，具体的な半環によって異なる記号がしばしば用いられる．例えば，加法は$\oplus$が用いられたり，乗法は$\otimes$や$\odot$が用いられたりする．

半環準同型（semiring homomorphism）

半環$R,S$について，写像$f:R \rightarrow S$が以下の性質を満たすとき，$f$を半環準同型という．

• $f(a + b) = f(a) + f(b)$
• $f(0_R) = 0_S$
• $f(a \times b) = f(a) \times f(b)$
• $f(1_R) = 1_S$

冪等半環（idempotent semiringあるいはdioid）

冪等半環あるいはジオイドは，加法について冪等性を満たす半環$D$のことをいう．

• $a + a = a$

double monoidからdioidと呼ぶようにしたらしい（誰かは忘れた）けど，カナ表記だと「ジオイド」?

冪等半環の具体例

記号を濫用しているため注意

• ブール代数$\mathbb{B} = \lbrace 0, 1 \rbrace$
  • 加法と乗法は論理和と論理積で与えられる
• トロピカル代数$\mathbb{R}\cup\lbrace{\infty}\rbrace$
  • $a + b := \text{min}(a,b)$
  • $a \times b := a + b$（通常の意味での加法）
  • $0 := \infty$
  • $1 := 0$（通常の意味での0）

冪等半環の半順序

冪等半環の順序を，$a + b = b$の時かつその時に限り$a \leq b$とすることで定義可能で，このとき$\leq$は半順序になっており，任意の要素$a,b$について最小上界（或いは上限）として（結びjoin）$a + b$をもつ． そのため，半環の冪等な加法は，$0$を最小元とする（結び）半束である．（逆も然り）

$a \leq b$を$a + b = a$で定義することも可能で，その場合$a+b$は最大下界（交わりmeet）であり，$1$は最大元になる．（以降は結び半束としての定義を用いる）

クオンテール（quantale）

注意！筆者は束の完備性周りの用語を把握出来ていない気がするため，束や半束に関して誤った定義をしている蓋然性が高いです．間違っていた場合はごめんなさい（ツイッターとか経由して教えてください）

$Q$がクオンテールであるとは，完備束に，任意の$Q$の部分集合$S \subseteq Q$と，任意の$a \in Q$について，上限に対して分配的な乗法$\ast$を備えているときをいう．

• $a \ast (\vee_{x \in S} x) = \vee_{x \in S} (a \ast x)$
• $(\vee_{x \in S} x) \ast a = \vee_{x \in S} (x \ast a)$

完備束なので，$\vee$じゃなくて$\sup$と表記した方が良いかも？（とりあえず$\vee$で統一）

さらにクオンテール$Q$は，乗法の単位元$1 \in Q$をもち，任意の$a \in Q$に対して，以下を満たすとき，単位的クオンテールという．

• $1 \ast a = a = a \ast 1$

冪等半環の加法が完備束の上限（sup–(semi)latticeと呼ぶ？）であるとき，単位的クオンテールとなる．

クオンテールには他にも色々な構造を加えたものがありますが省略します．